nama: shafira putri setiawan

kelas:x mipa 2

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Diberikan segitiga ABC siku-siku di B dengan ∠ A = θ.

Jika sisi di depan sudut (opposite) dinamakan "depan", sisi di samping sudut (adjacent) dinamakan "samping" dan sisi miring (hypotenuse) dinamakan "miring", maka perbandingan sisi-sisi tersebut didefinisikan sebagai berikut :
$$sin\left(\theta \right)=\frac{depan}{miring}csc\left(\theta \right)=\frac{miring}{depan}$$$$cos\left(\theta \right)=\frac{samping}{miring}sec\left(\theta \right)=\frac{miring}{samping}$$$$tan\left(\theta \right)=\frac{depan}{samping}cot\left(\theta \right)=\frac{samping}{depan}$$
Keterangan :
sin untuk sinus
cos untuk cosinus
tan untuk tangen
csc untuk cosecan
sec untuk secan
cot untuk cotangen

Catatan :
Sisi depan dan sisi samping dapat berubah tergantung sudut yang digunakan, sedangkan sisi miring selalu sama, yaitu sisi terpanjang dan letaknya selalu di depan sudut siku-siku.

Dari definisi diatas dapat kita amati dan simpulkan sebagai berikut :

Cosecan adalah kebalikan dari sinus, ditulis$$csc\left(\theta \right)=\frac{1}{sin\left(\theta \right)}$$Secan adalah kebalikan dari cosinus, ditulis$$sec\left(\theta \right)=\frac{1}{cos\left(\theta \right)}$$Cotangen adalah kebalikan dari tangen, ditulis$$cot\left(\theta \right)=\frac{1}{tan\left(\theta \right)}$$
Tangen adalah perbandingan sinus terhadap cosinus, ditulis$$tan\left(\theta \right)=\frac{sin\left(\theta \right)}{cos\left(\theta \right)})$$sehingga$$cot\left(\theta \right)=\frac{cos\left(\theta \right)}{sin\left(\theta \right)}$$

Contoh 1
Tentukan semua perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga ABC dan sudut β untuk segitiga PQR !

Penyelesaian :
Perhatikan segitiga ABC
AC = $\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}$ = 2

Sesuai dengan definisi, maka
sin(α) = $\frac{depan}{miring}$ = $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$
cos(α) = $\frac{samping}{miring}$ = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{1}{2}$
tan(α) = $\frac{depan}{samping}$ = $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{1}$ = $\sqrt{3}$
csc(α) = $\frac{miring}{depan}$ = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{2}{\sqrt{3}}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
sec(α) = $\frac{miring}{smping}$ = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{2}{1}$ = 2
cot(α) = $\frac{samping}{depan}$ = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Perhatikan segitiga PQR
QR = $\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-1^2}$ = 1

Sesuai dengan definisi, maka
sin(β) = $\frac{depan}{miring}$ = $\frac{QR}{PR}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$
cos(β) = $\frac{samping}{miring}$ = $\frac{PQ}{PR}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$
tan(β) = $\frac{depan}{samping}$ = $\frac{QR}{PQ}$ = $\frac{1}{1}$ = 1
csc(β) = $\frac{miring}{depan}$ = $\frac{PR}{QR}$ = $\frac{\sqrt{2}}{1}$ = $\sqrt{2}$
sec(β) = $\frac{miring}{samping}$ = $\frac{PR}{PQ}$ = $\frac{\sqrt{2}}{1}$ = $\sqrt{2}$
cot(β) = $\frac{samping}{depan}$ = $\frac{PQ}{QR}$ = $\frac{1}{1}$ = 1


Contoh 2
Jika tan(α) = $\sqrt{3}$ dan α sudut lancip, tentukan nilai dari $si{n}^2\left(\alpha \right)+co{s}^2\left(\alpha \right)$

Penyelesaian :
tan(α) = $\frac{depan}{samping}$ = $\frac{\sqrt{3}}{1}$

Karena perbandingan trigonometri memenuhi konsep kesebangunan, dapat ditulis :
depan = $\sqrt{3}$
samping = 1

Dengan teorema phytagoras
miring = $\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}$ = 2

Berdasarkan definisi, kita peroleh
sin(α) =  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
cos(α) = $\frac{1}{2}$

sin2(α) + cos2(α) = ($\frac{\sqrt{3}}{2}$)2 + ($\frac{1}{2}$)2
sin2(α) + cos2(α) = $\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$
sin2(α) + cos2(α) = 1

Jadi, sin2(α) + cos2(α) = 1


Contoh 3
Jika sin(β) = $\frac{1}{2}$ dan sudut β lancip, tentukan nilai dari $se{c}^2\left(\beta \right)-ta{n}^2\left(\beta \right)$

Penyelesaian :
sin(β) = $\frac{depan}{miring}$ = $\frac{1}{2}$

depan = 1
miring = 2
samping = $\sqrt{2^2-1^2}$ = $\sqrt{3}$

Sesuai definisi
sec(β) = $\frac{2}{\sqrt{3}}$
tan(β) = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{\sqrt{\mathrm{<br>}}}{}$

$\frac{\sqrt{}}{}$